cos^2 5@+ cos^2 10@+cos^2 15@...........+cos^2 180@

Let α = cos²5 + cos²10 + cos²15 + cos²25 + .............................+ cos²180

 

2α - 36  = ( 2cos²5 - 1 )  + (2 cos²10 - 1 )  + .............................+ (2cos²180-1)

 

2α - 36  = cos10 + cos20 + cos30 +....................................+ cos360

2α - 36  = ( cos10 + cos360 ) + ( cos20 +.cos350 ) ..................+ (cos180 + cos190)

 

2α - 36  =  ( 2 cos185 cos 175 ) + ( 2 cos185 cos165 ) + ..................+ ( 2 cos185 cos5 )  

 

2α - 36  = 2 cos185 [ cos175 + cos165 + cos 155 + ........................+ cos15 + cos 5 ]

 

2α - 36  = 2 cos185 [ ( cos175 + cos 5 ) + ( cos165 + cos15) ..................... + ( cos95 + cos85) ]

 

2α - 36  = 2 cos185 [ ( 2 cos90 cos85 ) + ( 2 cos90 cos75 ) + .................... + ( 2 cos90 cos 5) ]

 

2α - 36  = 4 cos185 cos90 [ cos85  +  cos75  + .....................+ cos 5 ]

 

In above expression , in RHS , we get cos90 . Hence we have , 2α - 36  = 0  or  α = 18 

 

Hence we get ,  α = cos²5 + cos²10 + cos²15 + cos²25 + .............................+ cos²180 = 18