If SinA=2pq/p[square}+q[square] Pt SecA-Tan A=p-q/p+q

Answer : Given :SinA=2pq / (p²+q²)

To Prove : SecA - Tan A= (p - q ) / (p+q)

 

Now , 

=> SinA = 2pq / (p²+q²)

Using componendo and dividendo,we get 

=> ( sinA +1 ) / (sinA -1) = ( 2pq + p² + q² ) / (p² + q² - 2pq )

Inverting the values we get ,

 => ( sinA - 1 ) / (sinA + 1) =  (p² + q² - 2pq ) / ( 2pq + p² + q²)

=> ( sinA - 1 ) / (sinA + 1) = (p - q)² / ( p + q)²

rationalising LHS

=> (1- sinA)² / ( 1- sin²A ) = (p - q)² / ( p + q)²

=> (1- sinA)² / cos²A = (p - q)² / ( p + q)²     { using sin²A + cos²A =1 ,

                                                                           => 1- sin²A = cos²A }

taking the squareroot both the sides , we get 

=> (1- sinA) / cosA = (p - q) / ( p + q)

=>(1/ cosA) - (sinA / cosA) = (p - q) / ( p + q ) 

=> secA - tanA = (p - q) / ( p + q)        { using secA = 1/cosA and                                                                           tanA = sinA/cosA }

Hence Proved