IN A TRIANGLE

$\mathrm{angle} B = {135}^0$$\mathrm{From} \mathrm{the} \mathrm{point} A \mathrm{draw} \mathrm{perpendicular} \mathrm{on} \mathrm{BC} \mathrm{to} \mathrm{meet} \mathrm{the} \mathrm{extended} \mathrm{line} \mathrm{BC} \mathrm{at} D$$\mathrm{So} \mathrm{AD} \mathrm{is} \mathrm{height} \mathrm{of} \mathrm{triangle} \mathrm{ABC}.$$\mathrm{angle} \mathrm{ABC}= {135}^0 \mathrm{so} \mathrm{angle} \mathrm{ABD} = {45}^0$$\mathrm{In} \mathrm{right} \mathrm{angled} \mathrm{triangle} \mathrm{ABD}, \mathrm{AD}=\mathrm{BD}$$\mathrm{Consider},$${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2+4 \mathrm{area} \mathrm{of} \mathrm{triangle} \mathrm{ABC}$$= ({\mathrm{AD}}^2 + {\mathrm{DB}}^2) + (\mathrm{DC}-\mathrm{BD}{)}^2+4 (1/2) \mathrm{BC}.\mathrm{AD} (\mathrm{by} \mathrm{pythagoras} \mathrm{thm})$$=({\mathrm{AD}}^2 + {\mathrm{DB}}^2) + ({\mathrm{DC}}^2+{\mathrm{BD}}^2-2\mathrm{DC}.\mathrm{BD})+2\mathrm{BC}.\mathrm{BD} (\mathrm{AD}=\mathrm{BD})$$=({\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{DC}}^2)+2{\mathrm{BD}}^2-2\mathrm{BD}(\mathrm{DC}-\mathrm{BC}) (\mathrm{by} \mathrm{pythagoras} \mathrm{thm})$$= {\mathrm{AC}}^2+2{\mathrm{BD}}^2-2\mathrm{BD}\left(\mathrm{BD}\right)$$={\mathrm{AC}}^2$">